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1 预备知识1

1.1 概率空间1

1.1.1 概率的定义1

1.1.2 概率空间2

1.1.3 概率的性质3

1.2 随机变量及其分布与数字特征4

1.2.1 完备概率空间4

1.2.2 分布函数及其性质5

1.2.3 随机变量的数字特征6

1.2.4 常用随机变量的分布8

1.2.5 数学期望的收敛性定理10

1.3 条件概率与独立性11

1.3.1 条件概率与条件分布11

1.3.2 条件数学期望12

1.3.3 独立性16

1.4 收敛性与分布变换16

1.4.1 随机变量序列的收敛性16

1.4.2 特征函数、矩母函数和母函数18

习题120

2 随机过程的基本概念22

2.1 随机过程的概念与例子22

2.2 随机过程的有限维分布族25

2.3 随机过程的数字特征31

2.4 随机微积分35

2.4.1 均方收敛及其性质35

2.4.2 随机过程的连续性37

2.4.3 随机过程的可微性40

2.4.4 随机过程的可积性42

习题246

3 Poisson过程与更新过程48

3.1 Poisson过程的定义48

3.2 Poisson过程的性质52

3.2.1 时间间隔和等待时间的分布52

3.2.2 年龄与剩余寿命的分布59

3.3 Poisson过程的几种推广61

3.3.1 非时齐Poisson过程61

3.3.2 复合Poisson过程63

3.3.3 条件Poisson过程66

3.4 更新过程69

3.4.1 更新过程的基本概念69

3.4.2 更新方程72

3.4.3 更新定理75

3.4.4 更新定理的应用80

3.4.5 更新过程的若干推广84

习题392

4 平稳过程96

4.1 平稳过程的定义96

4.2 相关函数的性质102

4.3 平稳过程的各态历经性105

4.4 平稳过程的谱分析114

4.4.1 平稳过程的谱分解114

4.4.2 谱密度的物理意义117

4.4.3 谱密度和相关函数的计算120

4.4.4 互谱密度及其性质126

4.5 线性时不变系统中的平稳过程129

4.5.1 线性时不变系统简介129

4.5.2 线性时不变系统的频率响应和脉冲响应131

4.5.3 线性时不变系统输出过程的均值与相关函数134

4.5.4 线性时不变系统输出过程的谱密度函数135

习题4139

5 离散时间马尔科夫链144

5.1 离散时间马氏链的定义144

5.2 有限维分布与强马氏性150

5.2.1 绝对概率与有限维分布151

5.2.2 强马氏性153

5.3 状态分类与空间分解158

5.3.1 状态空间分解158

5.3.2 状态的常返性和周期性160

5.4 遍历性与平稳分布169

习题5183

6 连续时间马尔科夫链187

6.1 连续时间马氏链的定义187

6.2 Q矩阵与柯尔莫哥洛夫方程189

6.3 嵌入链与遍历性196

6.4 生灭过程及其应用200

习题6209

7 Brown运动与随机微分方程213

7.1 马氏过程的定义与Brown运动213

7.2 Brown运动的随机积分217

7.3 It？公式与随机微分方程222

习题7232

8 鞅论初步234

8.1 鞅的定义与例234

8.2 鞅分解与鞅表示定理242

8.3 鞅收敛定理245

8.4 可选样本定理252

习题8254

部分习题参考答案256

参考文献263