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1 极限与连续1

1.1 预备知识1

1.1.1 常用的逻辑符号与数学符号1

1.1.2 集合1

1.1.3 排列与组合3

1.1.4 数学归纳法4

1.1.5 不等式5

1.1.6 极坐标系7

1.1.7 映射与函数8

1.1.8 函数的初等性质10

1.1.9 基本初等函数11

1.1.10 初等函数与分段函数15

1.1.11 隐函数16

1.1.12 参数式函数17

习题1.117

1.2 极限的定义与运算法则20

1.2.1 数列的极限20

1.2.2 函数的极限24

1.2.3 极限的性质28

1.2.4 函数极限与数列极限的联系30

1.2.5 无穷小量31

1.2.6 极限的运算法则33

习题1.236

1.3 极限的存在准则与两个重要极限38

1.3.1 夹逼准则38

1.3.2 第一个重要极限40

1.3.3 单调有界准则41

1.3.4 第二个重要极限43

习题1.346

1.4 无穷小量的比较与无穷大量的比较47

1.4.1 无穷小量的比较47

1.4.2 等价无穷小替换法则48

1.4.3 无穷小量的阶数52

1.4.4 无穷大量的比较52

习题1.453

1.5 函数的连续性与间断点55

1.5.1 连续性与间断点55

1.5.2 连续函数的运算法则57

1.5.3 闭区间上连续函数的性质59

习题1.562

复习题163

2 导数与微分65

2.1 导数基本概念65

2.1.1 平面曲线的切线与法线65

2.1.2 导数的定义66

2.1.3 基本初等函数的导数70

习题2.171

2.2 求导法则72

2.2.1 导数的四则运算法则72

2.2.2 反函数求导法则74

2.2.3 复合函数求导法则75

2.2.4 隐函数求导法则78

2.2.5 参数式函数求导法则78

2.2.6 取对数求导法则79

2.2.7 导数基本公式80

习题2.280

2.3 高阶导数82

2.3.1 高阶导数的定义82

2.3.2 常用函数的高阶导数84

2.3.3 两个函数乘积的高阶导数86

习题2.388

2.4 微分89

2.4.1 微分的定义89

2.4.2 微分法则91

2.4.3 微分的应用92

习题2.493

2.5 微分中值定理94

2.5.1 罗尔定理94

2.5.2 拉格朗日中值定理96

2.5.3 柯西中值定理99

2.5.4 泰勒公式与马克劳林公式101

习题2.5105

2.6 洛必达法则106

2.6.1 O／O型未定式的极限107

2.6.2 ∞／∞型未定式的极限110

2.6.3 其他类型的未定式的极限112

习题2.6114

2.7 导数在几何上的应用116

2.7.1 单调性与极值116

2.7.2 最值120

2.7.3 曲线的凹凸性与拐点121

2.7.4 曲线的凹凸性（续）124

2.7.5 渐近线128

2.7.6 作函数的图形130

习题2.7132

2.8 方程的数值解135

2.8.1 二分法135

2.8.2 牛顿切线法136

复习题2138

3 不定积分与定积分141

3.1 不定积分141

3.1.1 不定积分基本概念141

3.1.2 积分基本公式143

3.1.3 换元积分法145

3.1.4 分部积分法149

3.1.5 几类特殊函数的不定积分151

习题3.1156

3.2 定积分158

3.2.1 曲边梯形的面积158

3.2.2 定积分的定义159

3.2.3 定积分的性质162

3.2.4 牛顿-莱布尼茨公式166

3.2.5 定积分的换元积分法与分部积分法170

习题3.2176

3.3 定积分在几何上的应用179

3.3.1 微元法179

3.3.2 平面图形的面积180

3.3.3 平面曲线的弧长184

3.3.4 平面曲线的曲率186

3.3.5 由截面面积求体积188

3.3.6 旋转体的体积189

3.3.7 旋转体的侧面积191

习题3.3192

3.4 定积分在物理上的应用194

3.4.1 平面曲线段的质心与形心194

3.4.2 引力197

3.4.3 压力198

3.4.4 变力做功199

习题3.4200

3.5 反常积分201

3.5.1 无穷区间上的积分201

3.5.2 无界函数的积分205

3.5.3 反常积分与定积分的关系208

3.5.4 函数209

习题3.5211

3.6 数值积分方法212

3.6.1 梯形法212

3.6.2 辛普森（Simpson）法213

复习题3215

4 空间解析几何217

4.1 行列式与向量代数217

4.1.1 二阶与三阶行列式217

4.1.2 空间直角坐标系219

4.1.3 向量的基本概念220

4.1.4 向量的运算222

习题4.1237

4.2 空间的平面238

4.2.1 平面的方程238

4.2.2 点到平面的距离240

4.2.3 两平面的位置关系241

习题4.2242

4.3 空间的直线243

4.3.1 直线的方程243

4.3.2 点到直线的距离245

4.3.3 两直线的位置关系247

4.3.4 异面直线的距离249

习题4.3251

4.4 空间平面与直线的位置关系251

4.4.1三种位置关系的判定251

4.4.2直线与平面的夹角252

4.4.3直线在平面内的投影253

习题4.4255

4.5 空间的曲面255

4.5.1 球面256

4.5.2 柱面257

4.5.3 旋转曲面258

4.5.4 常用的二次曲面261

习题4.5263

4.6 空间的曲线264

4.6.1 空间曲线的一般式方程264

4.6.2 空间曲线的参数方程264

4.6.3 空间曲线在坐标平面上的投影265

4.6.4 空间曲线的切线与法平面（Ⅰ）266

习题4.6268

复习题4269

习题答案与提示270

附录 微积分课程教学课时安排建议286