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开篇 同初学者闲聊微积分1

第一章 函数、极限与连续5

1.1 函数及其图形5

1.1.1 常量与变量5

1.1.2 区间与邻域6

1.1.3 函数的概念6

1.1.4 函数的几种特性10

1.1.5 反函数13

1.1.6 基本初等函数及其图形15

1.1.7 复合函数与初等函数19

1.1.8 简单函数关系的建立20

习题1-121

1.2 极限的概念24

1.2.1 数列的极限24

1.2.2 函数的极限27

习题1-230

1.3 极限的性质及运算法则31

1.3.1 极限的性质31

1.3.2 极限的四则运算法则32

习题1-334

1.4 无穷小与无穷大、无穷小的比较34

1.4.1 无穷小34

1.4.2 无穷大36

1.4.3 无穷小的比较37

习题1-438

1.5 求解未定式极限的两种方法38

1.5.1 两个重要极限及其应用39

1.5.2 等价无穷小的替换原理及其应用42

习题1-544

1.6 函数的连续性与间断点44

1.6.1 函数的连续性44

1.6.2 函数的间断点及其分类46

1.6.3 初等函数与分段函数的连续性47

1.6.4 闭区间上连续函数的性质49

习题1-650

第二章 导数与微分53

2.1 导数的概念53

2.1.1 导数概念的两个引例53

2.1.2 导数的定义及几何意义55

2.1.3 函数可导与连续的关系59

习题2-160

2.2 导数的运算61

2.2.1 导数的四则运算法则与反函数的求导法则61

2.2.2 基本初等函数的导数公式64

2.2.3 复合函数的求导法则64

2.2.4 分段函数的求导问题66

2.2.5 高阶导数67

习题2-269

2.3 隐函数和由参数方程所确定的函数的导数70

2.3.1 隐函数的导数70

2.3.2 幂指函数的导数与对数求导法71

2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数73

习题2-374

2.4 函数的微分75

2.4.1 微分的概念及几何意义75

2.4.2 微分运算法则78

2.4.3 微分在近似计算中的应用79

习题2-481

第三章 导数的应用82

3.1 利用导数求解函数的未定式极限82

3.1.1 洛必达（L'Hospital）法则82

3.1.2 其他类型的未定式极限84

习题3-185

3.2 函数的单调性与极值86

3.2.1 如何判断函数的单调性并划分函数的单调区间86

3.2.2 函数的极值及其求法88

习题3-290

3.3 函数的最大值与最小值91

3.3.1 闭区间上连续函数的最值求法91

3.3.2 简单应用问题中的最值求法92

习题3-393

3.4 函数曲线的凹凸性与拐点94

习题3-496

3.5 描绘函数图形96

3.5.1 曲线的水平渐近线与铅直渐近线96

3.5.2 描绘函数的图形97

习题3-599

3.6 曲率100

3.6.1 曲率的计算公式100

3.6.2 曲率圆和曲率半径100

习题3-6102

第四章 不定积分103

4.1 不定积分的概念与性质103

4.1.1 原函数与不定积分103

4.1.2 不定积分的性质104

4.1.3 不定积分的几何意义105

习题4-1106

4.2 不定积分的运算法则与直接积分法106

4.2.1 不定积分的基本公式106

4.2.2 不定积分的基本运算法则107

4.2.3 直接积分法108

习题4-2109

4.3 换元积分法110

4.3.1 第一类换元积分法（凑微分法）110

4.3.2 第二类换元积分法114

习题4-3118

4.4 分部积分法119

习题4-4122

第五章 定积分及其应用124

5.1 定积分的概念与性质124

5.1.1 定积分问题实例分析124

5.1.2 定积分的概念与几何意义126

5.1.3 定积分的性质128

习题5-1130

5.2 微积分基本定理131

5.2.1 积分上限的函数及其导数131

5.2.2 牛顿—莱布尼茨（Newton—Leibniz）公式132

习题5-2135

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法135

5.3.1 定积分的换元积分法135

5.3.2 定积分的分部积分法137

5.3.3 定积分的几个常用公式138

习题5-3139

5.4 广义积分140

5.4.1 无限区间上的广义积分140

5.4.2 无界函数的广义积分141

习题5-4143

5.5 定积分的若干应用举例143

5.5.1 定积分在几何上的应用143

5.5.2 定积分在物理上的若干应用148

习题5-5149

习题答案150

附录160

附录Ⅰ 初等数学常用公式160

附录Ⅱ 希腊字母表162