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目 录1

第一章数学物理方程的基本问题1

1.1数学物理方程的分类及一般性问题1

1.1.1基本概念：古典解和广义解1

1.1.2两个自变量二阶线性方程的分类和化简4

1.1.3多个自变量线性方程的分类和标准型9

1.1.4数学物理方程的一般性问题10

1.2波动方程与Cauchy问题的适定性12

1.2.1波动方程的Cauchy问题12

1.2.2非齐次波动方程和推迟势17

1.2.3能量不等式和Cauchy问题的适定性18

1.2.4混合问题解的惟一性和稳定性21

1.3 Laplace方程与Helmholtz方程24

1.3.1二个自变量的Laplace方程24

1.3.2调和函数的基本性质26

1.3.3边值问题的适定性29

1.3.4Helrnholtz方程与辐射问题30

1.4热传导方程与定解问题的适定性32

1.4.1热传导方程的Cauchy问题32

1.4.2一维热传导方程的混合问题35

1.4.3混合问题的适定性37

1.4.4三类典型方程定解问题提法比较40

习题一43

第二章本征值问题和分离变数法46

2.1 Hilbert空间及完备的正交函数集46

2.1.1Hilbert空间和函数空间L2［a,b］46

2.1.2完备的正交归一函数集48

2.1.3有限区间上的完备系：Legendre多项式53

2.1.4单位球面上的完备系：球谐函数57

2.2本征值问题和Sturm-Liouville系统59

2.2.1 Hermite算子及本征值问题59

2.2.2 Sturm-Liouville系统64

2.2.3 Sturm-Liouville多项式系统70

2.2.4 Hermite多项式与Laguerre多项式72

2.3有界区域内定解问题的分离变数法75

2.3.1波动方程的齐次混合问题76

2.3.2热传导方程的齐次混合问题79

2.3.3椭圆方程的边值问题81

2.3.4非齐次问题的本征函数展开83

2.4正交曲线坐标系中本征值问题的分离变数86

2.4.1球坐标系中的本征方程86

2.4.2柱坐标系中的本征方程90

2.4.3椭圆－双曲柱坐标93

2.4.4柱函数：Bessel函数的几种不同形式95

2.5无穷区域混合问题的分离变数法98

2.5.1波动方程的Cauchy问题99

2.5.2 Laplace方程的边值问题102

2.5.3二维轴对称波动方程106

2.5.4应用于平板的光热激发108

习题二109

第三章Green函数方法112

3.1广义函数及δ函数112

3.1.1广义函数概念和运算法则112

3.1.2广义函数的导数116

3.1.3广义函数的Fourier变换119

3.1.4弱收敛和广义解121

3.2二阶常微分方程的Green函数124

3.2.1 Cauchy问题的Green函数124

3.2.2边值问题的Green函数127

3.2.3非齐次Sturm-Liouville边值问题132

3.2.4广义Green函数133

3.3高维边值问题的Green函数138

3.3.1非齐次问题的积分公式138

3.3.2 Helmholtz方程的Green函数141

3.3.3无界空间的Green函数和基本解144

3.3.4镜像法求边值问题的Green函数151

3.4混合问题的含时Green函数155

3.4.1热导方程的Green函数155

3.4.2波动方程的Green函数160

3.4.3Cauchy问题的基本解163

3.4.4混合问题Green函数的镜像法168

3.5广义Green公式及非齐次问题的积分解169

3.5.1共轭算子及广义Green公式169

3.5.2椭圆型方程的Green函数171

3.5.3抛物型方程的Green函数174

3.5.4双曲型方程的Green函数178

习题三181

第四章变分近似方法185

4.1变分法的基本问题185

4.1.1泛函和泛函极值的基本概念185

4.1.2多个变量的变分问题189

4.1.3变端点问题和自然边界条件192

4.1.4泛函的条件极值问题193

4.1.5Hamilton原理与最小位能原理198

4.2变分法在本征值问题中的应用201

4.2.1 Hermite算子本征值问题与泛函极值问题的等价201

4.2.2完备性定理的证明205

4.2.3极值定理206

4.2.4 Ritz和Galerkin法解本征值问题210

4.3变分法在边值问题中的应用213

4.3.1边值问题与泛函极值问题的等价213

4.3.2变分解的存在性与广义解216

4.3.3Ritz法解边值问题220

4.3.4Galerkin法及非齐次边值问题222

4.4.1 Kantorovich法226

4.4变分的其他近似方法226

4.4.2最速下降法与有界正定算子229

4.4.3最小平方法及Courant法232

4.4.4共轭梯度法233

习题四236

第五章积分方程基本理论238

5.1积分方程的形成及分类238

5.1.1Volterra积分方程的形成238

5.1.2 Fredholm积分方程的形成241

5.1.3 Abel方程及第一类积分方程的适定性243

5.1.4非线性积分方程的形成245

5.2积分方程的迭代法和有限秩近似247

5.2.1第二类Fredholm方程的迭代法247

5.2.2 Banach空间第二类Fredholm方程的迭代技术250

5.2.3可分核方程和有限秩核近似255

5.2.4非线性积分方程的迭代法262

5.3 L2［a,b］空间中的积分方程264

5.3.1Hermite对称的平方可积核264

5.3.2第二类Fredholm积分方程及微扰论269

5.3.3平方可积Hermite对称核的极值性质273

5.3.4本征值问题的有限秩近似275

5.3.5一般平方可积核277

5.4.1 Fourier变换及逆变换280

5.4积分变换及应用于解积分方程280

5.4.2 Laplace变换及逆变换283

5.4.3Hankel变换及逆变换285

5.4.4 Hilbert变换及逆变换287

习题五289

第六章微扰理论292

6.1本征值问题的微扰292

6.1.1算子本身的微扰292

6.1.2简并态的微扰294

6.1.3边界条件的微扰297

6.1.4区域微扰299

6.2正则微扰302

6.2.1一致有效展开303

6.2.2非一致有效展开和参数变形法306

6.2.3参数变形法应用于非线性振动和波动309

6.2.4多尺度展开法312

6.3奇异微扰及边界层理论317

6.3.1边界层理论的基本思想317

6.3.2二阶线性方程的边值问题321

6.3.3非线性微扰引起的边界层326

6.3.4高维边值问题的边界层329

6.4 WKB近似和应用334

6.4.1WKB近似334

6.4.2 Liouville-Green变换337

6.4.3具有转折点的本征值问题339

6.4.4 WKB近似的应用343

习题六347

第七章数学物理方程的逆问题351

7.1逆问题基本概念和分类351

7.1.1逆问题基本概念351

7.1.2方程逆问题分类354

7.1.3不适定问题的正则化方法360

7.1.4第一类Fredholm积分方程的正则化方法363

7.2脉冲谱技术（PST）365

7.2.1 PST的基本原理365

7.2.2光热测量中热导系数的反演367

7.2.3应用于二维波动方程的逆问题371

7.2.4应用于环境污染控制的逆源问题373

7.3本征值逆问题375

7.3.1本征值的渐近特征375

7.3.2本征值逆问题的惟一性379

7.3.3热导方程系数逆问题的惟一性383

7.3.4数值方法386

7.4波动方程的逆散射389

7.4.1波的散射和远场特性389

7.4.2边界反演的Kirchhoff近似393

7.4.3非均匀介质反演的Born和Rytov近似395

7.4.4二维近场逆散射成像理论398

习题七404

8.1典型非线性方程及其行波解406

8.1.1 Burgers方程及冲击波406

第八章非线性数学物理方程406

8.1.2 KdV方程及孤立波408

8.1.3非线性Klein-Gordon方程411

8.1.4非线性Schr？dinger方程417

8.2 Hopf-Cole变换和Hirota方法419

8.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole变换420

8.2.2 KdV方程的广义Hopf-Cole变换422

8.2.3 KdV-Burgers方程的广义Hopf-Cole变换425

8.2.4Hirota方法426

8.3.1一维Schr？dinger方程的逆散射问题430

8.3逆散射方法430

8.3.2解KdV方程初值问题的基本思想437

8.3.3 KdV方程初值问题的孤立子解440

8.3.4 Lax理论445

8.4B？cklund变换447

8.4.1Bācklund变换的基本思想448

8.4.2 Sine-Gordon方程的自B？cklund变换449

8.4.3 KdV方程的自B？cklund变换452

8.4.4非线性叠加公式455

习题八458

人名英汉对照表460

参考书目465