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第一篇 微积分——变量的数学3

微积分思想发展简史3

第1章 极限与连续6

1.1数列极限6

1.1.1从前有个数6

1.1.2数列极限及其定义8

1.1.3数列极限的收敛准则10

1.1.4数列极限的运算法则12

1.2函数极限15

1.2.1对函数的新认识15

1.2.2 x→∞时函数的极限17

1.2.3 x→c时函数的极限20

1.2.4重要极限lim x→0sinx/x=123

1.3无穷之旅27

1.3.1无穷小——消逝量的灵魂27

1.3.2无穷小的阶28

1.3.3无穷之旅31

1.4函数的连续性33

1.4.1函数连续的概念33

1.4.2初等函数的连续性35

1.4.3连续到底为何物38

习题一39

第2章 导数与微分及其应用43

2.1导数的定义和运算43

2.1.1从切线问题到导数的定义43

2.1.2导函数和导数公式45

2.1.3导数的运算法则47

2.1.4高阶导数50

2.2微分与微分方程52

2.2.1从费马的“等同法”到巴罗的“微分三角形”52

2.2.2微分的定义和计算53

2.2.3微分方程：逻辑斯谛模型和衰减模型55

2.3微分中值定理及其应用59

2.3.1微分中值定理59

2.3.2函数的单调性62

2.3.3洛必达法则63

2.4导数的应用67

2.4.1函数的极值67

2.4.2函数的最值69

2.4.3曲线的凹凸性与拐点71

2.4.4经济学中的边际分析和弹性分析72

习题二74

第3章 积分及其应用78

3.1积分的概念78

3.1.1从莱布尼兹的“和与差”说起78

3.1.2不定积分的概念和基本公式79

3.1.3漫漫路在何方：对面积的艰难探索81

3.1.4定积分的概念和性质83

3.2微积分基本定理85

3.2.1帝遣牛顿，万物光明85

3.2.2积分上限函数和微积分基本定理87

3.3积分的计算90

3.3.1不定积分的换元积分法90

3.3.2定积分的换元积分法97

3.3.3分部积分法100

3.4积分的应用104

3.4.1微积分的思想与微元分析法104

3.4.2几何应用：平面图形的面积105

3.4.3经济应用107

3.4.4变量可分离方程110

习题三112

第二篇 线性代数——处理线性关系的数学117

代数学思想发展简史117

第4章 矩阵与行列式121

4.1矩阵的概念与基本运算121

4.1.1从鸡兔同笼谈起121

4.1.2矩阵的线性运算和乘法运算126

4.1.3矩阵的转置运算130

4.2可逆矩阵132

4.2.1从数的倒数到逆矩阵132

4.2.2逆矩阵的几个基本性质134

4.3行列式135

4.3.1线性方程组再探135

4.3.2 n阶行列式的定义137

4.3.3行列式的性质140

4.3.4行列式与矩阵的关系144

4.3.5克拉默法则146

习题四147

第5章 矩阵的秩与线性方程组150

5.1初等行变换求逆法150

5.1.1从高斯消元法到矩阵的标准形150

5.1.2初等行变换求逆法154

5.2矩阵的秩与线性方程组157

5.2.1站在初等行变换的肩膀上157

5.2.2矩阵中的黄金——矩阵的秩160

5.2.3线性方程组解的基本定理164

5.2.4线性方程组解的结构171

习题五174

第三篇 概率统计——随机性的数学179

概率论与统计学思想发展简史179

第6章 随机事件与概率184

6.1随机事件及其运算184

6.1.1从赌金分配问题谈起184

6.1.2随机现象与随机事件185

6.1.3随机事件的关系与运算187

6.2古典概型190

6.2.1从惠更斯、伯努利到孔多塞和拉普拉斯190

6.2.2排列与组合193

6.2.3古典概型195

6.3概率的定义和性质198

6.3.1概率的统计定义198

6.3.2概率的公理化定义201

6.3.3概率的基本性质202

6.4独立性与全概公式203

6.4.1条件概率203

6.4.2独立性与二项概型205

6.4.3全概公式和逆概公式208

习题六213

第7章 随机变量及其分布218

7.1离散型随机变量218

7.1.1随机变量218

7.1.2离散型随机变量及其概率分布219

7.1.3离散型随机变量的期望223

7.1.4离散型随机变量的方差226

7.2数据的描述分析及其Excel计算227

7.2.1从《末日审判书》、霍布斯到格朗特和凯特勒227

7.2.2数据的图表展示及其Excel计算230

7.2.3二项分布的正态近似235

7.3连续型随机变量237

7.3.1连续型随机变量的密度函数与分布函数237

7.3.2连续型随机变量的期望和方差241

7.3.3正态分布及其应用243

7.4统计量及其分布248

7.4.1统计量249

7.4.2中心极限定理250

7.4.3 x2分布和t分布252

习题七255

第8章 统计推断初步261

8.1点估计261

8.1.1矩法估计261

8.1.2点估计好坏的衡量标准263

8.1.3极大似然估计265

8.2假设检验267

8.2.1假设检验的基本思想267

8.2.2单个正态总体参数的假设检验269

8.2.3奈曼和皮尔逊的故事272

8.3区间估计274

8.3.1区间估计的基本思想274

8.3.2单个正态总体参数的区间估计274

习题八277

附录：用Excel生成概率分布表279

习题答案与提示289

参考文献300

后记304