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第一章 概率1

1.Borel的正轨数定理1

单位区间1

弱大数律5

强大数律8

强大数律与弱大数律的对比11

长度11

丢番图逼近的测度理论13

2.概率测度17

空间17

指定概率18

集类18

概率测度22

单位区间上的勒贝格测度25

序列空间27

构造σ-域30

3.存在性和延拓36

延拓的构造37

唯一性与π-λ定理41

单调类43

单位区间上的勒贝格测度43

完备性44

不可测集45

两个不可能性定理45

4.可数概率51

一般公式51

极限集52

独立事件53

子域57

Borel-Cantelli引理59

零壹律62

5.简单随机变量67

定义67

随机变量的收敛70

独立性71

独立序列的存在性73

数学期望76

不等式80

6.大数定律85

强大数律85

弱大数律86

Bernstein定理86

第二Borel-Cantelli引理的改进87

7.赌局92

赌徒破产问题92

选择系统95

博弈策略98

大胆投注101

谨慎投注108

8.马氏链111

定义111

高阶转移概率114

存在性定理115

常返与非常返117

常返的另一判别准则121

平稳分布124

指数收敛131

最优停时133

9.大偏差和重对数律145

矩母函数145

大偏差148

Chernoff定理151

重对数律153

第二章 测度158

10.一般测度158

集类158

有关∞的约定160

测度160

唯一性163

11.外测度165

外测度165

延拓166

逼近定理168

12.欧氏空间中的测度171

勒贝格测度171

正则性174

确定直线上的测度175

确定Rk中的测度176

奇特的欧氏集合179

13.可测函数与可测映照182

可测映照182

取值Rk的映照183

极限与可测性184

测度变换185

14.分布函数187

分布函数187

指数分布189

弱收敛190

类型的收敛193

极值分布195

第三章 积分199

15.积分199

定义199

非负函数201

唯一性203

16.积分的性质206

等式与不等式206

积分号下求极限208

在集合上求积分212

变量变换213

一致可积215

复函数218

17.关于勒贝格测度的积分221

直线上的勒贝格积分221

黎曼积分221

微积分基本定理224

变量变换224

Rk中的勒贝格积分225

Stieltjes积分228

18.乘积测度与Fubini定理231

乘积空间231

乘积测度232

Fubini定理233

分步积分236

高阶乘积238

19.Lp空间241

定义241

完备性与可分性243

共轭空间243

弱紧性244

决策论初步246

L2空间249

估计问题251

第四章 随机变量与数学期望254

20.随机变量与分布254

随机变量和随机向量254

子域255

分布256

高维分布259

独立性261

随机变量序列265

卷积266

概率的收敛268

Glivenko-Cantelli定理268

21.数学期望273

作为积分的数学期望273

数学期望和极限273

数学期望与分布274

矩274

不等式276

联合积分277

独立性与数学期望277

矩母函数282

22.独立随机变量之和282

强大数律282

弱大数律和矩母函数284

Kolmogorov 0-1律286

极大不等式287

随机级数的收敛289

随机泰勒级数292

23.Poisson过程297

指数分布的刻画297

Poisson过程297

Poisson逼近302

Poisson过程的其他特征303

随机过程308

24.遍历定理310

保测变换311

遍历性313

旋转的遍历性316

遍历定理的证明317

连分式变换319

丢番图逼近324

第五章 分布的收敛性327

25.弱收敛327

定义327

模1的均匀分布328

依分布收敛329

依概率收敛330

基本定理333

Helly定理336

积分号下求极限338

26.特征函数342

定义342

矩与导数342

独立性345

逆转公式与唯一性定理346

连续性定理349

Fourier级数351

27.中心极限定理357

同分布之和357

Lindeberg定理与Lyapounov定理359

相关的变量363

28.无穷可分分布371

淡收敛371

可能的极限371

极限的刻画375

29.Rk中的极限定理378

基本定理378

特征函数381

Rk中的正态分布383

中心极限定理385

30.矩方法388

矩问题388

矩母函数390

用矩方法证明中心极限定理391

在抽样理论中的应用392

在数论中的应用393

第六章 导数与条件概率400

31.直线上的导数400

微积分基本定理400

积分的求导402

奇异函数407

导数的积分412

有界变差函数415

32.Radon-Nikodym定理419

可加集函数419

Hahn分解420

绝对连续性与奇异性421

主要定理422

33.条件概率427

离散情形427

一般情形429

条件概率的性质436

难点和奇特性437

条件概率分布439

34.条件期望445

定义445

条件期望的性质446

条件分布与期望449

充分子域450

极小方差估计454

35.鞅458

定义458

下鞅462

博弈463

鞅的函数465

停时465

不等式466

收敛定理468

应用之一：导数470

似然比471

倒鞅472

应用之二：de Finetti定理473

贝叶斯估计475

中心极限定理475

第七章 随机过程482

36.Kolmogorov存在性定理482

随机过程482

有限维分布族482

乘积空间484

Kolmogorov存在性定理486

RT的不完备性492

遍历理论（续）494

Hewitt-Savage定理496

37.布朗运动498

定义498

轨道连续500

可测过程503

布朗运动轨道的不规则性504

强马氏性508

反射原理511

Skorohod嵌入定理513

不变原理520

38.不可数概率526

引言526

定义526

存在性定理529

可分性的效用532

附录536

习题提示552

参考文献581

常用符号585

索引587