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第二版序1

引言1

第一章 复数及复平面1

1. 复数及其几何表示1

1. 复数域1

2. 复平面2

第一版序(摘录)3

3. 复球面及无穷大9

2. 复平面的拓扑11

4. 初步概念11

5. 区域·曲线13

习题一15

1. 极限与连续性18

1. 解析函数18

第二章 复变函数18

2. 导数·解析函数23

3. 柯西-黎曼条件25

2. 初等函数27

4. 指数函数27

5. 多值函数导引：辐角函数30

6. 对数函数33

7. 幂函数36

8. 三角函数43

习题二47

第三章 复变函数的积分51

1. 柯西定理51

1. 复变函数的积分51

2. 几个引理55

3. 柯西定理61

4. 柯西公式67

2. 柯西公式67

5. 莫勒拉定理73

3. 同调及同伦形式的柯西定理74

6. 链与闭链·指标74

7. 同调形式的柯西定理76

8. 同伦形式的柯西定理80

习题三84

第四章 级数89

1. 级数和序列的基本性质89

1. 复数项级数和复数序列89

2. 复变函数项级数和复变函数序列94

3. 幂级数97

4. 解析函数的泰勒展式103

2. 泰勒展式103

5. 零点108

6. 解析函数的唯一性108

3. 罗朗展式111

7. 解析函数的罗朗展式111

8. 解析函数的孤立奇点117

9. 解析函数在无穷远点的性质123

4. 整函数与亚纯函数125

10. 整函数与亚纯函数概念125

11. 无穷乘积128

12. 整函数的无穷乘积展式134

13. 亚纯函数的部分分式展式138

习题四144

1. 留数定理152

1. 一般理论152

第五章 留数152

2. 留数的计算154

2. 留数计算的应用157

3. 积分的计算(Ⅰ)157

4. 积分的计算(Ⅱ)164

5. 亚纯函数的零点与极点的个数·儒歇定理172

习题五178

第六章 保形映射185

1. 单叶解析函数的映射性质185

1. 一般概念185

2. 导数的几何意义189

2. 分式线性函数及其映射性质192

3. 分式线性函数192

4. 分式线性函数的映射性质194

5. 两个特殊的分式线性函数199

3. 黎曼定理201

6. 最大模原理·希瓦尔兹引理201

7. 正规族204

8. 黎曼定理206

9. 边界对应211

10. 实例219

习题六224

第七章 解析开拓230

1. 解析开拓概念230

1. 对称原理230

2. 用幂级数的解析开拓·奇点236

3. 一般概念241

4. 沿曲线的解析开拓·单值性定理244

5. 基本公式247

2. 多角形映射公式247

6. 实例252

习题七256

第八章 调和函数259

1. 调和函数及其性质259

1. 一般概念259

2. 中值公式与普阿松公式·极值原理262

2. 狄里克莱问题265

3. 圆盘上的狄里克莱问题265

4. 上半平面上的狄里克莱问题269

习题八272

第九章 多复变函数275

1. 初步性质275

1. 解析函数·柯西公式275

2. 数项与函数项级数280

3. 幂级数与幂级数展式284

2. 哈托格斯定理288

4. 奥斯古德定理288

5. 哈托格斯定理291

习题九296

附录一 集与逻辑记号299

1. 集的初步概念299

2. 函数与映射300

3. 逻辑记号301

习题303

附录二 约当定理305

索引311

外国人名译名对照表320