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第1章 线性空间与线性变换1

1.1 线性空间1

1.1.1 线性空间的定义及性质1

1.1.2 向量的线性相关性2

1.1.3 基与维数5

1.1.4 坐标与坐标变换6

1.2 线性子空间11

1.2.1 线性子空间的概念11

1.2.2 子空间的交与和13

1.3 线性变换及其矩阵16

1.3.1 线性变换及其运算16

1.3.2 线性变换的矩阵表示18

1.3.3 特征值与特征向量23

1.3.4 不变子空间27

习题一28

第2章 内积空间32

2.1 内积空间的概念32

2.1.1 Hermite矩阵，酉矩阵32

2.1.2 内积空间的定义与基本性质33

2.1.3 标准正交基35

2.2 欧氏空间36

2.3 酉空间的定义及性质39

2.4 矩阵的相似对角化40

习题二42

第3章 矩阵的相似标准形45

3.1 λ矩阵的基本概念及初等变换45

3.1.1 λ矩阵的基本概念45

3.1.2 λ矩阵的初等变换与等价46

3.2 λ矩阵在等价意义下的标准形48

3.3 λ矩阵的行列式因子51

3.4 λ矩阵的初等因子54

3.5 矩阵相似的条件57

3.6 矩阵的若尔当标准形59

3.7 哈密顿—凯莱定理与最小多项式65

习题三68

第4章 矩阵分解70

4.1 矩阵的正交三角分解70

4.2 矩阵的满秩分解72

4.3 矩阵的谱分解75

4.3.1 可对角化矩阵的谱分解75

4.3.2 正规矩阵的谱分解79

4.4 矩阵的奇异值分解83

4.5 广义逆矩阵87

4.6 广义逆矩阵与线性方程组的求解91

4.6.1 A（1）与线性方程组的解92

4.6.2 A（1，4）与线性方程组的极小范数解93

4.6.3 A（1，3）与矛盾方程组的最小二乘解95

4.6.4 A＋与线性方程组的极小最小二乘解96

习题四98

第5章 矩阵分析100

5.1 向量与矩阵的范数100

5.1.1 向量的范数100

5.1.2 矩阵的范数102

5.2 向量与矩阵序列的收敛性105

5.3 矩阵的导数108

5.3.1 函数矩阵对变量的导数108

5.3.2 函数对矩阵的导数110

5.3.3 矩阵对矩阵的导数111

5.4 矩阵的微分与积分113

习题五114

第6章 矩阵函数116

6.1 矩阵级数116

6.2 矩阵函数的定义及性质119

6.2.1 矩阵函数的幂级数定义119

6.2.2 矩阵函数的谱定义120

6.3 矩阵函数的计算方法121

6.3.1 利用若尔当标准形的计算法122

6.3.2 拉格朗日—西尔维斯特插值多项式表示法125

6.3.3 待定系数法128

6.4 矩阵函数的应用举例129

习题六133

习题答案135

参考文献141