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第1章　复习与推广1

1.1　数域1

1.2　二阶与三阶行列式2

1.3　n维向量空间Pn5

1.3.1　几何向量及其运算5

1.3.2　Pn中的向量及其运算8

习题11

第2章　方阵的行列式·线性方程组13

2.1　矩阵及其初等变换13

2.1.1　矩阵的概念13

2.1.2　矩阵的初等变换17

2.2　方阵的行列式18

2.2.1　n元排列19

2.2.2　n阶行列式的定义21

2.3　行列式的性质25

2.4　行列式按行（列）展开31

2.4.1　行列式按一行（列）展开31

2.4.2　拉普拉斯（Laplace）展开定理39

2.5　m×n线性方程组43

2.5.1　矩阵消元法43

2.5.2　m×n方程组解的情况50

2.6　n×n线性方程组58

2.6.1　用行列式判断n×n方程组解的情况59

2.6.2　克拉默（Crane）法则61

2.7　小结63

习题65

第3章　矩阵及其运算72

3.1　矩阵的运算72

3.1.1　矩阵的加法72

3.1.2　矩阵的数量乘法74

3.1.3　矩阵的乘法75

3.1.4　方阵的幂·矩阵的多项式81

3.1.5　矩阵的转置与矩阵运算的关系85

3.1.6　矩阵乘法的技巧86

3.2　几类常用的特殊矩阵·方阵的迹90

3.2.1　初等矩阵91

3.2.2　上（下）三角矩阵93

3.2.3　对称矩阵与反对称矩阵94

3.2.4　方阵的迹95

3.3　矩阵乘积的行列式·可逆矩阵96

3.3.1　矩阵乘积的行列式96

3.3.2　可逆矩阵97

3.3.3　求逆矩阵的方法103

3.3.4　矩阵方程107

3.4　矩阵的分块111

3.4.1　矩阵的分块运算112

3.4.2　分块矩阵的初等变换120

3.5　矩阵的秩·矩阵的相抵125

3.5.1　矩阵的秩125

3.5.2　矩阵秩的计算127

3.5.3　矩阵的相抵（或等价）129

3.5.4　矩阵经运算后秩的变化132

3.6　小结134

习题137

第4章　线性空间144

4.1　线性空间144

4.1.1　线性空间概念的形成144

4.1.2　线性空间的基本性质147

4.2　子空间·线性组合148

4.3　向量的线性相关性153

4.3.1　线性相关与线性无关153

4.3.2　Pn中向量的线性相关性159

4.4　向量组的秩164

4.4.1　向量组的等价164

4.4.2　极大无关组167

4.4.3　向量组的秩与矩阵秩的关系169

4.5　维数与基·坐标173

4.5.1　维数与基173

4.5.2　坐标175

4.5.3　基变换与坐标变换179

4.6　线性空间的同构184

4.6.1　映射184

4.6.2　线性空间的同构186

4.7　线性方程组（续）190

4.7.1　线性方程组有解判别定理190

4.7.2　线性方程组解的结构193

4.8　小结202

习题205

第5章　线性变换216

5.1　线性变换的定义与运算216

5.1.1　定义·例子·基本性质216

5.1.2　线性变换的运算221

5.2　线性变换的矩阵223

5.2.1　线性变换在一组基下的矩阵224

5.2.2　L（V）与Pn×n的同构229

5.2.3　线性变换在不同基下的矩阵232

5.2.4　矩阵的相似235

5.3　特征值与特征向量238

5.3.1　特征值与特征向量的概念和计算239

5.3.2　特征值和特征向量的性质248

5.4　具有对角矩阵的线性变换255

5.4.1　线性变换可对角化的条件255

5.4.2　化方阵为三角矩阵261

5.5　线性变换的一些应用265

5.6　小结269

习题271

第6章　欧几里得（Euclid）空间277

6.1　内积·欧氏空间277

6.1.1　内积277

6.1.2　向量的长度和向量的夹角280

6.1.3　n维欧氏空间的度量矩阵282

6.2　标准正交基·欧氏空间的同构284

6.2.1　标准正交基·正交矩阵284

6.2.2　欧氏空间的同构293

6.3　正交变换294

6.4　对称变换与实对称矩阵298

6.4.1　对称变换298

6.4.2　实对称矩阵的对角化299

6.5　小结306

习题308

第7章　二次型312

7.1　引言312

7.2　二次型及其标准形·矩阵的合同316

7.2.1　二次型及其矩阵表示316

7.2.2　满秩线性替换·矩阵的合同318

7.3　化二次型为标准形320

7.3.1用正交替换化实二次型为标准形320

7.3.2　用满秩线性替换化二次型为标准形328

7.4　二次型的规范形·惯性定理331

7.5　正定二次型与正定矩阵335

7.5.1　正定二次型335

7.5.2　正定矩阵337

7.5.3　其他类型的实二次型341

7.5.4　一个应用342

7.6　小结343

习题345

习题参考答案与提示349

附录　双重连加号∑∑·连乘号Ⅱ362

参考书目365