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第1章 绪论——纵观古今，面向未来1

1 数学的重要性1

1.数学与对知识的探求1

2.数学的重要性2

3.两种文化的融合3

4.指导思想3

2 数学史上的关键时期5

1.五个质不同的时期5

2.四个高峰期8

3.七次飞跃8

3 数学的特点与教育价值9

1.数学的特点9

2.数学的教育价值11

4 如何学12

1.鉴赏力12

2.致广大而尽精微12

3.澄其源而清其流13

4.循序渐进13

5.笛卡儿的方法论14

6.以简驭繁15

7.从师、读书与讨论15

8.验证与总结15

9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香16

第2章 数学文化的源头17

1 数学文化的源头18

2 希腊人的哲学观及其影响19

1.数学的真理性19

2.柏拉图与亚里士多德19

3.柏拉图、亚里士多德与西方文化21

3 古代希腊的天文学22

1.早期的地心说22

2.日心说的提出23

3.第一次科学大综合23

4 从经验数学到演绎数学24

1.经验数学24

2.希腊人对数学思想的贡献25

3.演绎几何的诞生26

5 演绎数学28

1.演绎法的结构28

2.演绎推理的地位29

3.合情推理与论证推理30

6 希腊数学的重要成果30

1.毕达哥拉斯学派发现无理数30

2.正多边形作图31

3.圆锥曲线32

4.阿基米德的数学成就33

5.三角术的创立33

7 留给后人的难题34

1.关于无理数34

2.几何作图三大问题34

第3章 现代科学的发端36

1 科学方法36

1.培根与归纳法37

2.笛卡儿与演绎法38

3.归纳法与演绎法38

4.伽利略的科学规划39

5.三大要素40

2 科学的数学化40

1.宇宙的和谐40

2.近代科学的黎明——哥白尼革命41

3.哥白尼体系的真理性42

3 天体力学的诞生42

1.开普勒的三定律43

2.开普勒的天文学与正多面体44

4 牛顿力学的建立46

1.牛顿面临的问题46

2.苹果、月亮和万有引力47

3.奇妙的预测50

第4章 绘画艺术与几何学52

1 科学与艺术52

1.美与真52

2.异同比较53

3.相互依存53

2 绘画与数学54

1.绘画与科学54

2.新的时代，新的艺术54

3.引入第三维55

4.数学的引入56

5.艺术家丢勒58

6.数学定理59

7.从艺术中诞生的科学61

3 完美的结合，艺术的顶峰62

1.文艺复兴早期的绘画62

2.盛期文艺复兴三杰65

3.风景画69

第5章 数的扩充史70

1 数的基本知识70

1.两种知识71

2.数的用途71

3.五个主要阶段71

4.十进位制72

5.印度-阿拉伯记数法72

6.数的几何表示——数轴与复平面72

2 关键进展73

1.新的语言73

2.无理数的诞生74

3.0的发现74

4.负数的引入74

5.数与代数方程75

6.复数75

7.代数数与超越数76

8.希尔伯特第七问题77

3 新的数系77

1.四元数的诞生77

2.四元数的性质79

3.矩阵80

4.超限数80

4 可数集82

1.势的概念82

2.有理数集是可数的83

5 数系的公理化84

1.皮亚诺的五条公理85

2.有理数的定义85

3.有理数的两条重要性质85

4.实数的定义86

第6章 解析几何概要88

1 两个基本概念88

1.解析几何的诞生88

2.两个基本概念89

2 圆锥曲线90

1.希腊数学的顶峰90

2.椭圆、双曲线、抛物线90

3.二次曲线的光学性质92

4.观测宇宙95

3 化二次方程为标准形96

1.九种标准形96

2.坐标变换97

3.化二次方程为标准形98

4 向量代数99

1.向量99

2.向量的加减法与数乘100

3.向量的坐标表示100

4.数量积和它的性质101

5 应用与意义102

1.解析几何解决的主要问题102

2.解析几何的伟大意义104

第7章 微积分发展史107

引言107

1.目的107

2.概观108

3.分期108

1 希腊时期109

1.数的学问109

2.芝诺的四个悖论109

3.欧多克苏斯和比例110

4.面积与穷竭法110

5.阿基米德的平衡法112

2 酝酿时期114

1.方法的变革114

2.开普勒的工作114

3.不可分素方法115

4.微分学的早期史117

5.巴罗的贡献119

6.前期史小结119

3 诞生和发展时期120

1.发现和洞见120

2.牛顿对微积分的主要贡献121

3.莱布尼茨对微积分的主要贡献121

4.18世纪的进展121

5.第二次数学危机122

6.待解决的问题125

4 严格化时期125

1.函数概念125

2.布尔查诺的贡献126

3.柯西的工作126

4.分析的算术化127

第8章 傅里叶分析与音乐130

1 音律的确定130

1.古希腊音律的确定131

2.中国古代对音律的贡献133

3.十二平均律133

2 数学与音乐的进一步联系135

1.梅森的定律135

2.伟大的傅里叶135

3.简谐振动136

4.弹簧的振动137

5.傅里叶定理139

6.大自然的统一性141

7.麦克斯韦的功绩142

8.小结142

第9章 非欧几何的诞生及影响143

1 欧氏几何回顾143

1.欧氏几何的内容143

2.欧氏几何的历史地位145

3.《几何原本》在中国145

2 非欧几何的缘起146

1.平行公设引起的思考146

2.从《几何原本》的诞生到18世纪146

3.非欧几何的孕育时期147

3 非欧几何的确立149

1.非欧几何的诞生149

2.罗巴切夫斯基的解答150

3.一个全新的世界152

4.双曲几何的相容性153

4 椭圆几何155

1.黎曼的非欧几何155

2.球面几何156

3.欧氏几何与非欧几何比较156

5 新的里程碑157

1.非欧几何诞生的意义157

2.微分几何158

3.爱尔兰根纲领159

4.几何学的进一步发展160

6 非欧几何学与艺术161

1.艺术中的教学家161

2.双曲几何学与艺术161

第10章 重温代数学163

1 符号代数的发展163

1.文字阶段163

2.简写阶段164

3.符号阶段164

2 代数学发展的三个不同时期166

1.代数学的诞生166

2.代数方程式论167

3.代数结构168

3 代数方程式论168

1.方程式论168

2.代数基本定理169

3.根与系数的关系——韦达定理170

4.五次以上的代数方程170

4 三次代数方程与四次代数方程171

1.单位根171

2.化为缺项的方程172

3.三次代数方程的解173

4.解的确定174

5.三次代数方程解法小结175

6.四次代数方程解法概要175

5 群和域175

1.群的定义175

2.置换群179

3.对称中的对称——子群180

4.域的概念181

5.伽罗瓦理论181

6 代数与古典几何名题183

1.几何中的三大经典问题183

2.化为代数问题184

3.三大经典问题不可解的证明185

第11章 数学的广阔用场187

1 数学与自然科学187

1.电磁现象188

2.物理学新的里程碑189

3.概率论与太空旅行192

4.化学193

5.生物科学194

2 数学与人文科学197

1.人文科学与数学教育的历史197

2.数学和人文科学之间的桥梁198

3.数理语言学199

4.选票分配问题200

5.文学与统计学202

6.诺贝尔经济学奖与数学204

7.数学与西方政治204

参考书目207