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第1章　绪论1

1.1　如何使用本书1

1.2　关于数值计算的若干问题1

1.2.1　低层问题2

1.2.2　高层问题3

1.3　各章内容概要4

第2章　矩阵和线性系统6

2.1 导言6

2.1.1　动机6

2.1.2　组织9

2.1.3　符号约定10

2.2 多元组10

2.2.1　定义10

2.2.2　算术运算11

2.3 矩阵11

2.3.1 符号与术语12

2.3.2　转置12

2.3.3　算术运算13

2.3.4　矩阵乘法14

2.4.1　线性方程17

2.4　线性系统17

2.4.2　两个未知数的线性系统19

2.4.3 一般线性系统20

2.4.4　减行、阶梯形和秩21

2.5 方阵22

2.5.1 对角矩阵23

2.5.2　三角形矩阵23

2.5.3　行列式24

2.5.4　逆矩阵26

2.6　线性空间28

2.6.2　定义和性质29

2.6.1　数域29

2.6.3 子空间30

2.6.4　线性组合和生成空间30

2.6.5　线性无关、维数和基底31

2.7　线性映射32

2.7.1　映射基础32

2.7.2　线性映射34

2.7.3　线性映射的矩阵表示35

2.7.4　克莱姆定理35

2.8　特征值和特征向量37

2.9.1　内积空间38

2.9　欧几里得空间38

2.9.2　正交和标准正交集39

2.10　最小二乘法40

2.11 推荐的阅读材料43

第3章　向量代数44

3.1 向量基础44

3.1.1 向量等价44

3.1.2 向量加法45

3.1.4　向量数乘46

3.1.3　向量减法46

3.1.5 向量加法和数乘的性质47

3.2 向量空间48

3.2.1 生成空间49

3.2.2　线性无关49

3.2.3　基底、子空间和维数49

3.2.4　方向51

3.2.5　基底变化52

3.2.6　线性变换53

3.3　仿射空间56

3.3.1 欧几里得几何59

3.3.2　体积、行列式和数量三重积66

3.3.3　坐标系67

3.4　仿射变换69

3.4.1 仿射映射的类型72

3.4.2　仿射映射的合成72

3.5　重心坐标和单形73

3.5.1 重心坐标和子空间74

3.5.2　仿射无关74

4.2　点和向量的矩阵表示76

第4章　矩阵、向量代数和变换76

4.1 导言76

4.3　加法、减法和乘法78

4.3.1 向量加法和减法79

4.3.2　点与向量的加法和减法79

4.3.3　点的减法80

4.3.4　数乘80

4.4 向量乘积80

4.4.1　点积80

4.4.2　叉积81

7.5.3　椭圆之间的相交 183

4.4.4 正交运算符和正交点积84

4.4.3　张量积84

4.5　仿射变换的矩阵表示88

7.7　轴分离方法 188

4.6　基底变化／帧／坐标系统89

4.7　向量几何和仿射变换92

4.7.1　标记法93

4.7.2　平移93

4.7.3　旋转95

4.7.4　缩放100

4.7.5　反射104

4.7.6　剪切108

4.8　投影111

4.8.1　正射投影112

4.8.2　斜轴投影113

4.8.3　透视投影114

4.9　变换法线向量116

推荐的阅读材料118

第5章　二维几何图元120

5.1 线形对象120

5.1.1　隐含形式120

5.1.2　参数形式121

5.2　三角形122

5.1.3　表示法之间的转换122

5.3　矩形124

5.4　折线和多边形124

5.5　二次曲线127

5.5.1 圆129

5.5.2　椭圆129

5.6　多项式曲线130

5.6.1 贝塞尔曲线130

5.6.3 非均匀有理B样条曲线131

5.6.2　B样条曲线131

第6章　二维距离133

6.1 点到线形对象的距离133

6.1.1 点到直线的距离133

6.1.2　点到射线的距离134

6.1.3　点到线段的距离135

6.2　点到折线的距离136

6.3.1 点到三角形的距离138

6.3　点到多边形的距离138

6.3.2　点到矩形的距离150

6.3.3 点到正交平截面的距离151

6.3.4　点到凸多边形的距离154

6.4　点到二次曲线的距离155

6.5　点到多项式曲线的距离156

6.6　线形对象之间的距离157

6.6.1 直线到直线的距离157

6.6.2　直线到射线的距离158

6.6.3 直线到线段的距离159

6.6.4　射线到射线的距离159

6.6.5　射线到线段的距离162

6.6.6　线段到线段的距离162

6.7　线形对象到折线或多边形的距离163

6.8　线形对象到二次曲线的距离164

6.9　线形对象到多项式曲线的距离166

6.10　GJK算法166

6.10.1　集合运算167

6.10.2　算法概述168

6.10.3　其他算法170

7.1　线形对象之间的相交171

第7章　二维相交171

7.2　线形对象与折线的相交174

7.3.1 线形对象与一般二次曲线的相交175

7.3　线形对象与二次曲线的相交175

7.3.2　线形对象与圆形曲线的相交176

7.4　线形对象与多项式曲线的相交176

7.4.1　代数方法177

7.4.2　折线逼近178

7.4.3　分级包围178

7.4.4　单调分解179

7.4.5　栅格方法180

7.5.1 一般二次曲线之间的相交181

7.5　二次曲线之间的相交181

7.5.2　圆形二次曲线之间的相交182

7.6　多项式曲线之间的相交186

7.6.1　代数方法186

7.6.2　折线逼近186

7.6.3　分级包围186

7.6.4　栅格方法187

7.7.1　投影到直线上的分离188

7.7.2　固定凸多边形的分离189

7.7.3　运动凸多边形的分离194

7.7.4　固定凸多边形的交集196

7.7.5　运动凸多边形的接触点集197

第8章　其他二维问题204

8.1　三点确定的圆204

8.2　与三条直线相切的圆204

8.3　与圆相切于给定点的直线205

8.4　通过给定点并与圆相切的直线205

8.5　与两圆相切的直线208

8.6　两点和给定半径决定的圆213

8.7　通过一点并与一条直线相切且具有给定半径的圆214

8.8　与两条直线相切且具有给定半径的圆216

8.9　经过一点并与一个圆相切且具有给定半径的圆218

8.10　具有给定半径并与一条直线和一个圆相切的圆222

8.11 具有给定半径并与两圆相切的圆225

8.12　与一条给定直线垂直并通过一个给定点的直线227

8.13　位于两点之间并与该两点等距的直线228

8.14　与一条给定直线平行且相距指定值的直线229

8.15　与给定直线平行且垂直（水平）距离为指定值的直线230

8.16　与给定圆相切并与给定直线垂直的直线232

第9章　三维几何图元234

9.1 线形对象234

9.2　平面对象235

9.2.1　平面235

9.2.2 相对于一个平面的坐标系统237

9.2.3　平面上的二维对象238

9.3 多边形网格、多面体和有限多面体240

9.3.1 顶点一边一面表244

9.3.2　互连网格244

9.3.3 复式网格246

9.3.4　闭合网格247

9.3.5　一致次序247

9.3.6　柏拉图立体249

9.4　二次曲面253

9.4.1 三个非零特征值253

9.4.2　两个非零特征值254

9.4.3　一个非零特征值256

9.5 环面256

9.6　多项式曲线257

9.6.1 贝塞尔曲线258

9.6.2　B样条曲线258

9.6.3　非均匀有理B样条曲线259

9.7　多项式曲面259

9.7.1 贝塞尔曲面260

9.7.2　B样条曲面262

9.7.3　非均匀有理B样条曲面263

10.2　点到线形对象的距离264

10.1　导言264

第10章　三维距离264

10.2.1 点到直线或射线的距离265

10.2.2　点到折线的距离267

10.3　点到平面对象的距离270

10.3.1 点到平面的距离270

10.3.2 点到三角形的距离272

10.3.3 点到矩形的距离277

10.3.4　点到多边形的距离278

10.3.5　点到圆或圆盘的距离281

10.4.1　一般问题283

10.4　点到多面体的距离283

10.4.2　点到有向有界箱的距离285

10.4.3 点到正交平截体的距离287

10.5　点到二次曲面的距离291

10.5.1 点到一般二次曲面的距离291

10.5.2　点到椭球面的距离292

10.6　点到多项式曲线的距离293

10.7　点到多项式曲面的距离295

10.8　线形对象之间的距离297

10.8.1 直线与直线之间的距离297

10.8.2　线段／线段、直线／射线、直线／线段、射线／射线、射线／线段之间的距离299

10.8.3　计算线段到线段的距离的另一种方法310

10.9.1　线形对象到三角形的距离316

10.9　线形对象与三角形、矩形、四面体和有向有界箱之间的距离316

10.9.2　线形对象到矩形的距离322

10.9.3　线形对象到四面体的距离326

10.9.4　线形对象到有向有界箱的距离328

10.10　直线到二次曲面的距离341

10.11 直线到多项式曲面的距离342

10.12　GJK算法343

10.13　杂项343

10.13.1 直线与平面曲线之间的距离343

10.13.2　直线与平面实心物体之间的距离345

10.13.3　平面曲线之间的距离345

10.13.4 曲面上的测地距离349

第11章　三维相交352

11.1　线形对象与平面对象的相交352

11.1.1　线形对象与平面的相交352

11.1.2　线形对象与三角形的相交354

11.1.3　线形对象与多边形的相交357

11.1.4　线形对象与圆盘的相交360

11.2　线形对象与多面体的相交361

11.3　线形对象与二次曲面的相交365

11.3.1 线形对象与一般二次曲面的相交365

11.3.2　线形对象与球面的相交367

11.3.3　线形对象与椭球面的相交369

11.3.4　线形对象与圆柱面的相交372

11.3.5 线形对象与圆锥面的相交375

11.4　线形对象与多项式曲面的相交380

11.4.1 代数曲面381

11.4.2 自由形态曲面382

11.5　平面对象之间的相交388

11.5.1　两个平面之间的相交388

11.5.2　三个平面之间的相交390

11.5.3　三角形与平面的相交392

11.5.4　三角形与三角形的相交396

11.6　平面对象与多面体的相交398

11.6.1 三角网格399

11.6.2　一般多面体400

11.7　平面对象与二次曲面的相交401

11.7.1 平面与一般二次曲面的相交401

11.7.2　平面与球面的相交402

11.7.3　平面与圆柱面的相交404

11.7.4　平面与圆锥面的相交413

11.7.5　三角形与圆锥面的相交428

11.8　平面对象与多项式曲面的相交431

11.8.1　埃尔米特曲线432

11.8.2　几何定义433

11.8.3　计算曲线434

11.8.4　算法435

11.9.1 一般相交问题437

11.8.5　实现要点437

11.9 二次曲面之间的相交437

11.9.2　椭球面443

11.10　多项式曲面之间的相交446

11.10.1　细分方法447

11.10.2　格子评测447

11.10.3　解析方法448

11.10.4　步进方法448

11.11　轴分离方法448

11.11.1 固定凸多面体的分离448

11.11.2　运动凸多面体的分离451

11.11.4　固定凸多面体的接触集453

11.11.3 固定凸多面体的交集453

11.12　杂项459

11.12.1 有向有界箱与正交平截体的相交459

11.12.2　线形对象与轴对齐有界箱的相交461

11.12.3　线形对象与有向有界箱的相交464

11.12.4　平面与轴对齐有界箱的相交467

11.12.5　平面对象与有向有界箱的相交468

11.12.6　轴对齐有界箱之间的相交470

11.12.7　有向有界箱之间的相交470

11.12.8　球面与轴对齐有界箱的相交474

11.12.9　圆柱面之间的相交475

11.12.10　线形对象与环面的相交485

第12章　其他三维问题488

12.1 点在平面上的投影488

12.2　向量在平面上的投影489

12.3　直线与平面的夹角490

12.4　两平面之间的夹角491

12.5 以一条直线为法线并通过一给定点的平面491

12.6　三点决定的平面492

12.7　两条直线之间的夹角493

第13章　关于计算几何学的话题495

13.1 二维空间分区二叉树495

13.1.1 多边形的空间分区二叉树表示495

13.1.2　最小分解与平衡树501

13.1.3　用空间分区二叉树进行点在多边形内的检测502

13.1.4　用空间分区二叉树分解线段503

13.2　三维空间分区二叉树505

13.2.1 多面体的空间分区二叉树表示506

13.2.2　最小分解与平衡树507

13.2.3　用空间分区二叉树进行点在多面体内的检测508

13.2.4　用空间分区二叉树分解线段509

13.2.5　用空间分区二叉树分解凸多边形510

13.3　点在多边形内的检测511

13.3.1 点在三角形内的检测512

13.3.2　点在凸多边形内的检测513

13.3.3　点在一般多边形内的检测515

13.3.5　栅格方法520

13.3.4　点在多边形内的快速检测法520

13.4　点在多面体内的检测521

13.4.1 点在四面体内的检测521

13.4.2　点在凸多面体内的检测522

13.4.3 点在一般多面体内的检测524

13.5　与多边形有关的布尔运算526

13.5.1　抽象运算526

13.5.2　两种基础运算528

13.5.3 使用空间分区二叉树的布尔运算529

13.5.4　其他算法532

13.6.2　使用空间分区二叉树的布尔运算534

13.6　与多面体有关的布尔运算534

13.6.1　抽象运算534

13.7 凸包536

13.7.1　二维凸包537

13.7.2　三维凸包548

13.7.3 高维凸包552

13.8　德洛奈三角剖分556

13.8.1　二维增量构建558

13.8.2　一般维度增量构建561

13.8.3　用凸包实现构建564

13.9.1　一个简单多边形的可见性图565

13.9　多边形分解565

13.9.2　三角剖分568

13.9.3　水平分解三角剖分571

13.9.4　凸分解582

13.10　外接球与内切球589

13.10.1　外接球590

13.10.2　内切球591

13.11 点集的最小区域592

13.11.1　最小面积矩形592

13.11.2　最小体积箱体595

13.11.3　最小面积的圆595

13.11.4　最小体积的球599

13.11.5　杂项600

13.12　面积和体积测量602

13.12.1　二维多边形的面积602

13.12.2　三维多边形的面积605

13.12.3　多面体的体积608

附录A　数值方法610

附录B　三角几何682

附录C　几何图元基础公式700

参考文献709

图索引720

表索引735