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第一章 初识随机模拟方法1

1.1 一个简单例子1

1.1.1 简单的模拟方法2

1.1.2 模拟结果的简单分析3

1.2 趣味性的蒙提霍尔问题4

1.2.1 问题描述4

1.2.2 问题分析5

1.2.3 用随机模拟方法求解5

1.3 商品优惠券6

1.4 用蒲丰投针法求圆周率7

1.5 用随机模拟方法计算定积分9

1.5.1 从“方圆鱼缸”法求圆周率说起9

1.5.2 用随机投点法计算定积分10

1.6 应用随机模拟方法的一般思路11

练习12

第二章 懂点概率论：领会描述随机性的数学语言14

2.1 直观的概率14

2.2 理解概率的公理15

2.2.1 概率的公理16

2.2.2 概率的相加性17

2.2.3 条件概率、概率乘积与贝叶斯公式18

2.2.4 全概率公式19

2.2.5 独立性20

2.3 随机变量与概率分布21

2.3.1 随机变量21

2.3.2 概率分布22

2.3.3 离散型概率分布23

2.3.4 连续型概率分布25

2.4 随机变量的数字特征——矩量31

2.4.1 数学期望31

2.4.2 期望的运算性质32

2.4.3 方差32

2.4.4 方差的运算特性33

2.4.5 矩量33

2.4.6 统计数据的矩量34

2.4.7 中心极限定理34

2.4.8 联合分布35

2.4.9 随机变量之间的独立性36

2.4.10 二维正态分布36

2.5 随机变量的变换37

2.6 大数定律38

练习41

第三章 善用身边的数学秘书：学会使用Matlab软件45

3.1 Matlab快速入门46

3.1.1 Matlab的界面46

3.1.2 简单的交互式使用方式47

3.1.3 Matlab中的变量和数组48

3.1.4 Matlab的语句和常量48

3.1.5 数学运算符49

3.1.6 函数50

3.1.7 帮助系统50

3.2 线性代数51

3.3 Matlab的作图功能52

3.3.1 二维图形52

3.3.2 特殊坐标图形58

3.3.3 三维图形62

3.4 Matlab程序设计64

3.4.1 M文件64

3.4.2 函数文件71

3.5 Matlab的符号演算73

3.5.1 符号变量与符号表达式73

3.5.2 微积分运算73

3.5.3 解方程76

练习77

第四章 让电脑玩掷骰子：使用Matlab生成随机数80

4.1 离散型概率分布及其随机数的生成80

4.1.1 离散均匀分布80

4.1.2 泊松分布83

4.2 连续型概率分布及其随机数的生成84

4.2.1 连续均匀分布84

4.2.2 正态分布86

4.2.3 生成对数正态分布88

4.2.4 生成指数分布90

练习91

第五章 掷骰子的进阶：特殊分布随机数的抽样95

5.1 逆变换法95

5.1.1 逆变换算法95

5.1.2 逆变换的局限法97

5.2 接受-拒绝法97

5.2.1 接受拒绝算法98

5.2.2 接受-拒绝法的原理100

5.2.3 接受-拒绝法的两种特殊情形101

5.3 抽样多维联合分布的方法103

5.3.1 最简单的情形——各分量独立103

5.3.2 基于乔莱斯基分解的多元正态分布的抽样法104

5.4 关于伪随机数的问题的注释107

练习107

第六章 神奇的马尔可夫链蒙特卡罗方法110

6.1 马尔可夫链110

6.1.1 马尔可夫链的表示方式111

6.1.2 一个股市的马尔可夫链模型112

6.1.3 不变分布115

6.2 MCMC抽样——Metropolis算法117

6.3 几个MCMC的例子119

6.3.1 极小邻域法119

6.3.2 极大邻域法121

6.3.3 连续马尔可夫链的蒙特卡罗模拟121

6.4 为什么Metropolis算法能有效工作122

6.4.1 MCMC抽样和遍历性定理124

6.5 统计力学124

6.5.1 系统的微观态和熵126

6.5.2 系统的能量126

6.5.3 组合系统127

6.5.4 系综方法与玻尔兹曼分布127

6.5.5 宏观可测量与统计平均131

6.5.6 伊辛模型和Metropolis算法131

6.5.7 关于伊辛模型的几点注释135

练习136

第七章 仿真随机服务系统138

7.1 随机服务系统的组成与特征139

7.1.1 随机服务系统模型的分类及其记号140

7.1.2 随机服务系统的基本模型141

7.1.3 M/M/1模型143

7.1.4 系统运行指标的计算公式145

7.2 随机服务系统的例子146

7.3 随机服务系统的模拟148

练习157

第八章 不落俗套：蒙特卡罗优化方法161

8.1 模拟退火法162

8.1.1 模拟退火的Metropolis算法162

8.1.2 冷却进度表163

8.1.3 旅行商问题164

8.1.4 解TSP问题的模拟退火算法165

8.1.5 非线性函数的最优化问题170

8.2 遗传算法171

8.2.1 遗传算法是一种马尔可夫链172

8.2.2 粘滞现象及其修正算法173

8.2.3 遗传算法应用于求函数最大化173

8.3 遗传算法在积和式问题中的应用174

8.3.1 积和式问题的描述174

8.3.2 积和式的优化问题176

8.3.3 积和式的优化问题的遗传算法176

练习178

第九章 模拟醉汉行走：随机游走模型180

9.1 布朗运动与扩散现象180

9.1.1 布朗运动180

9.1.2 随机游走的连续化182

9.1.3 常返性183

9.2 布朗运动的数学模型184

9.2.1 布朗运动的定义184

9.2.2 布朗运动的标度不变性186

9.2.3 布朗运动的常返性187

9.3 随机游走的应用（一）187

9.3.1 金融期权定价188

9.3.2 自回避游走194

9.4 从随机游走看赌徒的破产194

9.4.1 游戏的玩法195

9.4.2 公平游戏财富过程的鞅方法解197

9.4.3 关于赌博的真相197

9.4.4 游戏的预期持续时间197

9.4.5 倍增下注策略的结局198

9.5 随机游走的应用（二）199

9.5.1 简单的凯利游戏200

9.5.2 简单游戏中潜在的风险202

9.5.3 期权交易应用实例（一）204

9.5.4 期权交易应用实例（二）205

练习207

第十章 化腐朽为神奇：蒙特卡罗积分法209

10.1 求定积分的随机投点法209

10.1.1 随机投点法的描述209

10.1.2 随机投点法的性质212

10.2 求积分的样本平均法213

10.2.1 样本平均法的描述213

10.2.2 样本平均法的性质215

10.3 蒙特卡罗积分法的收敛性与误差215

10.3.1 蒙特卡罗积分法的收敛性216

10.3.2 蒙特卡罗积分法的误差216

10.4 重要性抽样法217

10.4.1 减小误差的问题219

10.4.2 蒙特卡罗积分法的优缺点220

练习221

第十一章 随机模拟无极限：探索复杂性问题的方法223

11.1 元胞自动机模型223

11.1.1 模型的构造224

11.1.2 Wolfram的初等元胞自动机226

11.1.3 初等元胞自动机的模拟228

11.2 用元胞自动机来模拟道路交通流230

11.3 用元胞自动机来模拟股市237

11.4 Sznajd模型与社会舆论的形成240

11.4.1 Sznajd模型的基本设置241

11.4.2 二维Sznajd模型244

11.5 渗流模型246

11.6 复杂网络：随机图、小世界和无标度网络249

11.6.1 网络的基本概念249

11.6.2 复杂网络的基本特征250

11.6.3 随机图252

11.6.4 小世界网络254

11.6.5 无标度网络257

练习262

参考文献264

索引265