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第一章　整数之分解1

1　整除性1

2　素数及复合数2

3　素数3

4　整数之模4

5　唯一分解定理5

6　最大公因数及最小公倍数7

7　逐步淘汰原则8

8　一次不定方程之解10

9　完全数12

10 Mersenne数及Fermat数13

11　连乘积中素因数之方次数14

12　整值多项式15

13　多项式之分解17

第二章　同余式20

1　定义20

2　同余式之基本性质20

3　缩剩余系22

4　p2可整除2p-1-1否？23

5　？（m）之讨论26

6　同余方程27

7　孙子定理29

8　高次同余式31

9　素数乘方为模之高次同余方程32

10　Wolstenholme定理33

第三章　二次剩余35

1　定义及Euler判别条件35

2　计算法则37

3　互逆定律39

4 实际算法43

5　二次同余式之根数45

6　Jacobi符号46

7　二项同余式48

8　原根及指数50

9　缩系之构造51

第四章　多项式之性质61

1　多项式之整除性61

2　唯一分解定理62

3　同余式64

4　整系数多项式66

5　以素数为模之多项式67

6　若干关于分解之定理69

7　重模同余式71

8　Fermat定理之推广72

9　对模p之不可化多项式74

10　原根75

11　总结76

第五章　素数分布之概况77

1　无穷大之阶77

2　对数函数78

3　引言79

4　素数之个数无限81

5　几乎全部整数皆非素数84

6　Чебышев定理85

7　Bertrand假设87

8　以积分来估计和之数值90

9　Чебышев定理之推论93

10　n之素因子的个数97

11　表素数之函数100

12　等差级数中之素数问题101

第六章　数论函数104

1　数论函数举例104

2　积性函数之性质106

3　M？bius反转公式107

4 M？bius变换109

5　除数函数112

6　关于概率之二定理114

7　表整数为二平方之和116

8　分部求和法及分部积分法121

9　圆内整点问题122

10　Farey贯及其应用125

11 Виноградов关于函数的分数部分和的估值定理129

12　Виноградов定理对整点问题之应用134

13　Ω-结果137

14　Dirichlet级数141

15　Lambert级数144

第七章　三角和及特征146

1　剩余系之表示法146

2　特征函数148

3　特征之分类153

4　特征和155

5　Gauss和158

6　特征和与三角和164

7 由完整和到不完整和165

8 特征和p∑x=1（x2+ax+b/p）之应用举例169

9 原根之分布问题171

10 含多项式之三角和174

第八章　与椭圆模函数有关的几个数论问题179

1 引言179

2　整数分拆180

3　Jacobi等式181

4　分式表示法185

5　分拆之图解法187

6　p（n）之估值190

7　平方和问题195

8　密率200

9　关于平方和问题之总结205

第九章　素数定理207

1 引言207

2 Riemannζ函数209

3　若干引理211

4　Tauber型定理214

5　素数定理218

6　Selberg渐近公式219

7　素数定理的初等证明221

8　Dirichlet定理228

第十章　渐近法与连分数233

1　简单连分数233

2　连分数展开之唯一性237

3　最佳渐近分数239

4　Hurwitz定理241

5　实数之相似243

6　循环连分数247

7　Legendre之判断条件249

8　二次不定方程251

9 Pell氏方程253

10　Чебышев定理及Хинчин定理255

11　一致分布及n？（mod 1）之一致分布性259

12　一致分布之判断条件261

第十一章　不定方程266

1 引言266

2　一次不定方程266

3　二次不定方程268

4 解ax2+bxy+cy2=k269

5　求解方法274

6　商高定理之推广277

7　Fermat猜测281

8　Марков方程283

9 解方程x3+y3+z3+w3=0285

10　三次曲面之有理点288

第十二章　二元二次型295

1　二元二次型之分类295

2　类数有限297

3　Kronecker符号299

4　二次型表整数之表法数301

5　二次型的mod q相似303

6　二次型的特征系．族307

7　级数K（d）之收敛性309

8　双曲扇形及椭圆内的整点数311

9　平均极限311

10　类数的解析表示法314

11　基本判别式315

12　类数公式316

13　Pell氏方程的最小解318

14　若干引理321

15　Siegel定理323

第十三章　模变换329

1　复虚数平面329

2　线性变换之性质330

3　线性变换下之几何性质332

4　实变换334

5　模变换337

6　基域339

7　基域网342

8　模群之构造343

9　二次定正型344

10　二次不定型345

11　二次不定型的极小值348

第十四章　整数矩阵及其应用352

1　引言352

2　矩阵之积357

3　模方阵之演出元素363

4　左结合368

5　不变因子．初等因子369

6　应用372

7　因子分解．标准素方阵374

8　最大公约．最小公倍378

9　线性模381

第十五章　p-adic数387

1　引言387

2　赋值之定义390

3　赋值之分类392

4　亚几米得赋值393

5　非亚几米得赋值394

6　有理数之φ-扩张397

7　扩张之完整性400

8　p-adic数之表示法402

9　应用405

第十六章　代数数论介绍407

1　代数数407

2　代数数域408

3　基底411

4　整底414

5　整除性418

6　理想数421

7　理想数的唯一分解定理423

8　理想数的基底426

9　同余关系428

10　素理想数430

11　单位数434

12　理想数类435

13　二次域与二次型436

14　族441

15　欧几里得域与单域443

16　判断Mersenne数是否素数之Lucas条件445

17　不定方程447

18　表452

第十七章　代数数与超越数469

1　超越数之存在定理469

2　Liouville定理及超越数例子471

3 代数数的有理逼近定理473

4 Roth定理之应用485

5 Thue定理之应用487

6 e之超越性490

7 π之超越性492

8 Hilbert第七问题495

9 Γельфонд之证明496

第十八章 Waring问题及Prouhet-Tarry问题499

1 引言499

2　g（k）及G（k）之下限499

3　Cauchy定理501

4　初等方法示例504

5　有正负号之较易问题507

6　等幂和问题509

7 Prouhet-Tarry问题510

8　续514

第十九章　Шнирельман密率516

1　密率之定义及其历史516

2　和集及其密率517

3　Goldbach-Шнирельман定理519

4　Selberg不等式520

5　Goldbach-Шнирельман定理之证明525

6 Waring-Hilbert定理528

7 Waring-Hilbert定理的证明530

第二十章　数的几何534

1　二维空间之情况534

2　Minkowski之基本定理536

3　一次线性式538

4　二次定正型539

5　线性型之乘积541

6　联立渐近法543

7　Minkowski不等式544

8　线性型之乘方平均值549

9　Чеботарев定理551

10　在代数数论上的应用553

11 ｜△｜的极小值555

参考文献559

名词索引561