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第一章 函数与极限1

1.1 映射与函数2

1.1.1 集合、区间与邻域2

1.1.2 映射5

1.1.3 函数7

习题1.113

1.2 数列的极限14

1.2.1 数列极限的定义14

1.2.2 收敛数列的性质20

习题1.222

1.3 函数的极限22

1.3.1 函数极限的定义22

1.3.2 函数极限的性质27

习题1.329

1.4 无穷小与无穷大30

1.4.1 无穷小30

1.4.2 无穷大32

习题1.433

1.5 极限运算法则34

1.5.1 极限的四则运算法则34

1.5.2 复合函数的极限运算法则38

习题1.539

1.6 极限存在准则 两个重要极限40

1.6.1 极限存在准则40

1.6.2 两个重要极限42

习题1.646

1.7 无穷小与无穷大阶的比较47

习题1.750

1.8 函数的连续性与间断点51

1.8.1 函数的连续性51

1.8.2 函数的间断点54

习题1.856

1.9 连续函数的性质57

1.9.1 连续函数的有关定理57

1.9.2 闭区间上连续函数的性质58

习题1.961

总习题一62

第二章 导数与微分64

2.1 导数的概念65

2.1.1 引例65

2.1.2 导数的定义66

2.1.3 求导数举例67

2.1.4 单侧导数70

2.1.5 导数的几何意义71

2.1.6 函数的可导性与连续性的关系72

习题2.173

2.2 函数的求导法则与基本求导公式74

2.2.1 函数导数的四则运算法则74

2.2.2 反函数的求导法则76

2.2.3 复合函数的求导法则78

2.2.4 基本求导公式和求导法则81

习题2.283

2.3 高阶导数84

2.3.1 高阶导数的概念84

2.3.2 高阶导数的求导法则87

习题2.389

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数90

2.4.1 隐函数的导数90

2.4.2 对数求导法91

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数92

习题2.495

2.5 函数的微分96

2.5.1 微分的定义96

2.5.2 微分的几何意义99

2.5.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则99

2.5.4 高阶微分102

2.5.5 微分在近似计算中的应用104

习题2.5107

总习题二109

第三章 微分中值定理与导数的应用111

3.1 微分中值定理112

3.1.1 罗尔定理112

3.1.2 拉格朗日中值定理115

3.1.3 柯西中值定理118

习题3.1119

3.2 洛必达法则120

3.2.1 0/0型未定式121

3.2.2 ∞/∞型未定式122

习题3.2125

3.3 泰勒公式126

习题3.3135

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性136

3.4.1 函数的单调性136

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点139

习题3.4143

3.5 函数的极值与最大值最小值144

3.5.1 函数的极值及其求法144

3.5.2 最大值与最小值问题146

习题3.5150

3.6 函数图形的描绘151

3.6.1 渐近线的概念及其求法152

3.6.2 函数图形的描绘154

习题3.6157

3.7 曲率158

3.7.1 弧微分158

3.7.2 曲率及其计算公式160

3.7.3 曲率圆与曲率半径164

习题3.7166

总习题三167

第四章 不定积分169

4.1 不定积分的概念与性质170

4.1.1 原函数与不定积分的概念170

4.1.2 不定积分的几何意义172

4.1.3 基本积分公式173

4.1.4 不定积分的性质174

习题4.1176

4.2 换元积分法177

4.2.1 第一类换元积分法177

4.2.2 第二类换元积分法182

习题4.2189

4.3 分部积分法191

习题4.3195

4.4 几类特殊函数的不定积分197

4.4.1 有理函数的不定积分197

4.4.2 三角函数有理式的不定积分202

4.4.3 简单无理函数的不定积分204

习题4.4206

4.5 积分表的使用207

习题4.5209

总习题四210

第五章 定积分213

5.1 定积分的概念与性质214

5.1.1 两个实例214

5.1.2 定积分的定义215

5.1.3 定积分的几何意义216

5.1.4 定积分的基本性质217

习题5.1221

5.2 微积分基本公式222

5.2.1 变上、下限积分的概念与性质222

5.2.2 微积分基本定理224

习题5.2226

5.3 定积分的计算227

5.3.1 定积分的换元积分法228

5.3.2 定积分的分部积分法232

习题5.3234

5.4 反常积分235

5.4.1 无穷限积分235

5.4.2 瑕积分241

习题5.4245

总习题五246

第六章 定积分的应用249

6.1 定积分的元素法250

6.2 定积分在几何学上的应用251

6.2.1 平面图形的面积251

6.2.2 空间立体的体积256

6.2.3 平面曲线的弧长259

习题6.2260

6.3 定积分在物理学上的应用261

6.3.1 变力沿直线所作的功261

6.3.2 水压力263

6.3.3 引力265

习题6.3266

总习题六267

第七章 微分方程269

7.1 微分方程的基本概念270

7.1.1 引例270

7.1.2 微分方程的基本概念271

习题7.1274

7.2 一阶微分方程275

7.2.1 可分离变量的微分方程275

7.2.2 可化为可分离变量的方程277

7.2.3 一阶线性微分方程281

7.2.4 一阶微分方程的简单应用287

习题7.2291

7.3 可降阶的二阶微分方程293

7.3.1 y″=f（x）型的微分方程293

7.3.2 y″=f（x，y′）型的微分方程294

7.3.3 y″=f（y，y′）型的微分方程297

习题7.3299

7.4 高阶线性微分方程299

7.4.1 线性微分方程的解的结构300

7.4.2 常数变易法303

习题7.4307

7.5 二阶常系数线性微分方程307

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程308

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程312

7.5.3 n阶常系数线性微分方程319

习题7.5321

总习题七321

附录324

附录一 常用的一些初等数学公式324

附录二 常用的几种曲线及其方程330

附录三 常用积分公式333

部分习题答案与提示344

参考文献375